Закон Рэлея – Джинса — Rayleigh–Jeans law

В физика, то Закон Рэлея – Джинса является приближением к спектральное сияние из электромагнитное излучение как функция длина волны из черное тело при данной температуре с помощью классических аргументов. Для длины волны λ < displaystyle lambda>, это:

Закон Рэлея – Джинса согласуется с экспериментальными результатами на больших длинах волн (низкие частоты), но сильно не согласуется с короткими длинами волн (высокими частотами). Это несоответствие между наблюдениями и предсказаниями классическая физика широко известен как ультрафиолетовая катастрофа. [1] [2] Его резолюция в 1900 г. с выводом Макс Планк из Закон планка, который дает правильное излучение на всех частотах, был основополагающим аспектом развития квантовая механика в начале 20 века.

Содержание

Историческое развитие

В 1900 году британский физик Лорд Рэйли получил λ −4 зависимость закона Рэлея – Джинса, основанная на классических физических аргументах и эмпирических фактах. [1] Более полный вывод, включающий константу пропорциональности, был представлен Рэлеем и Сэром. Джеймс Джинс в 1905 г. Закон Рэлея – Джинса выявил важную ошибку в теории физики того времени. Закон предсказал выход энергии, расходящийся в сторону бесконечность когда длина волны приближается к нулю (поскольку частота стремится к бесконечности). Измерения спектрального излучения реальных черных тел показали, что излучение согласуется с законом Рэлея-Джинса на низких частотах, но расходится на высоких частотах; достигает максимума, а затем падает с частотой, поэтому общая излучаемая энергия конечна.

Сравнение с законом Планка

В 1900 г. Макс Планк эмпирически полученное выражение для излучение черного тела выражается через длину волны λ = c/ν (Закон планка):

куда час это Постоянная Планка и k_B в Постоянная Больцмана. Закон Планка не подвержен ультрафиолетовой катастрофе и хорошо согласуется с экспериментальными данными, но его полное значение (которое в конечном итоге привело к квантовой теории) было оценено только несколько лет спустя. С,

то в пределе высоких температур или длинных волн член в экспоненте становится малым, а экспонента хорошо аппроксимируется Многочлен Тейлора термин первого порядка,

В результате формула черного тела Планка сводится к

что идентично классическому выражению Рэлея – Джинса.

Тот же аргумент можно применить к излучению абсолютно черного тела, выраженному через частоту ν = c/λ . В пределе малых частот, то есть час ν ≪ k B Т < Displaystyle ч ню ll к _ < mathrm > T> ,

Последнее выражение является законом Рэлея – Джинса в пределе малых частот.

Читайте так же:
Что носят поверх туники 4 буквы

Согласованность выражений, зависящих от частоты и длины волны

При сравнении выражений закона Рэлея – Джинса, зависящих от частоты и длины волны, важно помнить, что

где обе стороны теперь имеют единицы мощности (энергия, излучаемая в единицу времени) на единицу площади излучающей поверхности на единицу телесного угла.

Исходя из закона Рэлея – Джинса по длине волны, получаем

Это приводит нас к обнаружению:

Другие формы закона Рэлея-Джинса

В зависимости от приложения функция Планка может быть выражена в 3 различных формах. Первый включает энергию, излучаемую в единицу времени на единицу площади излучающей поверхности, на единицу телесного угла, на единицу спектра. В этой форме функция Планка и связанные с ней пределы Рэлея – Джинса задаются выражением

B λ ( Т ) = 2 час c 2 λ 5 1 е час c λ k B Т − 1 ≈ 2 c k B Т λ 4 < displaystyle B _ < lambda>(T) = < frac <2hc ^ <2>> < lambda ^ <5>>>

я ( λ , Т ) = 2 π час c 2 λ 5 1 е час c λ k B Т − 1 ≈ 2 π c k B Т λ 4 < displaystyle I ( lambda, T) = < frac <2 pi hc ^ <2>> < lambda ^ <5>>>

ты ( λ , Т ) = 8 π час c λ 5 1 е час c λ k B Т − 1 ≈ 8 π k B Т λ 4 < displaystyle u ( lambda, T) = < frac <8 pi hc>< lambda ^ <5>>>

Закон Рэлея – Джинса — Rayleigh–Jeans law

Содержание

Историческое развитие

Читайте так же:
Очень мощный бомбер через термекс

Сравнение с законом Планка

В результате формула черного тела Планка сводится к

что идентично классическому выражению Рэлея – Джинса.

Последнее выражение является законом Рэлея – Джинса в пределе малых частот.

Согласованность выражений, зависящих от частоты и длины волны

При сравнении выражений закона Рэлея – Джинса, зависящих от частоты и длины волны, важно помнить, что

Исходя из закона Рэлея – Джинса по длине волны, получаем

Это приводит нас к обнаружению:

Другие формы закона Рэлея-Джинса

B λ ( Т ) = 2 час c 2 λ 5 1 е час c λ k B Т − 1 ≈ 2 c k B Т λ 4 < displaystyle B _ < lambda>(T) = < frac <2hc ^ <2>> < lambda ^ <5>>>

я ( λ , Т ) = 2 π час c 2 λ 5 1 е час c λ k B Т − 1 ≈ 2 π c k B Т λ 4 < displaystyle I ( lambda, T) = < frac <2 pi hc ^ <2>> < lambda ^ <5>>>

ты ( λ , Т ) = 8 π час c λ 5 1 е час c λ k B Т − 1 ≈ 8 π k B Т λ 4 < displaystyle u ( lambda, T) = < frac <8 pi hc>< lambda ^ <5>>>

Формула Рэлея-Джинса.

Общий метод определения универсальной функции Кирхгофа, основанный на применении методов статистической физики к тепловому излучению был предложен Рэлеем, а затем развит Джинсом.

Согласно теореме статистической механики о равномерном распределении кинетической энергии по степеням свободы в состоянии статистического равновесия на каждую поступательную и вращательную степень свободы приходится в среднем kT/2 энергии, а на колебательную степень свободы — kT.

Читайте так же:
Боди мист виктория сикрет запахи

Равновесное излучение в полости представимо системой стоячих электромагнитных волн. Каждое электромагнитное колебание обладает энергий kT,kT/2 приходится на электрическую составляющую, и kT/2 на магнитную составляющую электромагнитного колебания.

Рассчитав количество стоячих волн в единичном интервале частот приходящихся на единицу объема, Рэлей и Джинс получили выражение для универсальной функции

Кирхгофа в виде < >, а поскольку < >= kT, то окончательно

kT (8.7)

Формула Рэлея — Джинса удовлетворяет экспериментальным данным лишь в области низких частот. В области высоких частот она приводит к абсурдным результатам.

Попытка получить из формулы Рэлея–Джинса закон Стефана–Больцмана (R

T 4 ) приводит к абсурду.

Интегрируя по всему диапазону частот, получаем, что энергетическая светимость абсолютно черного тела есть бесконечная величина.

(8.8)

Этот результат получил название «ультрафиолетовой катастрофы», так как с точки зрения классической физики вывод Рэлея–Джинса был сделан безупречно.

8.6 Формула Планка.

Планк пришел к выводу, что процессы излучения и поглощения электромагнитной энергии нагретым телом происходят не непрерывно, как это принимала классическая физика, а конечными порциями – квантами. Квант – это минимальная порция энергии, излучаемой или поглощаемой телом. По теории Планка, энергия кванта E прямо пропорциональна частоте света:

E = h (8.9)

где h – так называемая постоянная Планка. h = 6,626·10 –34 Дж·с. Постоянная Планка – это универсальная константа.

На основе гипотезы о прерывистом характере процессов излучения и поглощения телами электромагнитного излучения Планк получил формулу для спектральной светимости абсолютно черного тела. Формулу Планка удобно записывать в форме, выражающей распределение энергии в спектре излучения абсолютно черного тела по частотам ν, а не по длинам волн λ.

r( (8.10)

Здесь c – скорость света, h – постоянная Планка, k – постоянная Больцмана, T – абсолютная температура.

Формула Планка хорошо описывает спектральное распределение излучения черного тела при любых частотах. Она прекрасно согласуется с экспериментальными данными. Из формулы Планка можно вывести законы Стефана–Больцмана и Вина. При hν << kT формула Планка переходит в формулу Релея–Джинса.

Решение проблемы излучения черного тела ознаменовало начало новой эры в физике. Нелегко было примириться с отказом от классических представлений, и сам Планк, совершив великое открытие, в течение нескольких лет безуспешно пытался понять квантование энергии с позиции классической физики.

Дата добавления: 2017-01-16 ; просмотров: 2344 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Читайте так же:
Что с катей венца

Формулы Рэлея — Джинса и Планка

Из рассмотрения законов Стефана — Больцмана и Вина следует, что термодинамический подход к решению задача о нахождении универсальной функции Кирхгофа r _{n , T} не дал желаемых результатов. Следующая строгая попытка теоретического вывода зависимости r _{n , T} принадлежит английским ученым Д. Рэлею и Д. Джинсу (1877—1946), которые применили к тепловому излучению методы статистической физики, воспользовавшись классическим законом равномерного распределения энергии по степеням свободы.

Формула Рэлея — Джинса для спектральной плотности энергетической светимости черного тела имеет вид

где á e ñ = kT — средняя энергия осциллятора с собственной частотой n . Для осциллятора, совершающего колебания, средние значения кинетической и потенциальной энергий одинаковы, поэтому средняя энергия каждой колебательной степени свободы á e ñ = kT .

Как показал опыт, выражение (200.1) согласуется с экспериментальными данными только в области достаточно малых частот и больших температур. В области больших частот формула Рэлея — Джинса резко расходится с экспериментом, а также с законом смещения Вина (рис. 288). Кроме того, оказалось, что попытка получить закон Стефана — Больцмана (см. (199.1)) из формулы Рэлея — Джинса приводит к абсурду. Действительно, вычисленная с использованием (200.1) энергетическая светимость черного тела (см. (198.3))

в то время как по закону Стефана — Больцмана R _е пропорциональна четвертой степени температуры. Этот результат получил название «ультрафиолетовой катастрофы». Таким образом, в рамках классической физики не удалось объяснить законы распределения энергии в спектре черного тела.

В области больших частот хорошее согласие с опытом дает формула Вина (закон излучения Вина), полученная им из общих теоретических соображений:

где r _{n , T} — спектральная плотность энергетической светимости черного тела, С и А — постоянные величины. В современных обозначениях с использованием постоянной Планка, которая в то время еще не была известна, закон излучения Вина может быть записан в виде

Правильное, согласующееся с опытными данными выражение для спектральной плотности энергетической светимости черного тела было найдено в 1900 г. немецким физиком М. Планком. Для этого ему пришлось отказаться от установившегося положения классической физики, согласно которому энергия любой системы может изменяться непрерывно, т. е. может принимать любые сколь угодно близкие значения. Согласно выдвинутой Планком квантовой гипотезе, атомные осцилляторы излучают энергию не непрерывно, а определенными порциями — квантами, причем энергия кванта пропорциональна частоте колебания (см. (170.3)):

где h = 6,625 × 10 –34 Дж × с — постоянная Планка. Так как излучение испускается порциями, то энергия осциллятора e может принимать лишь определенные дискретные значения, кратные целому числу элементарных порций энергии e :

Читайте так же:
С чем носить водолазку болотного цвета

В данном случае среднюю энергию á e ñ осциллятора нельзя принимать равной kT . В приближении, что распределение осцилляторов по возможным дискретным состояниям подчиняется распределению Больцмана, средняя энергия осциллятора

а спектральная плотность энергетической светимости черного тела

Таким образом, Планк вывел для универсальной функции Кирхгофа формулу

которая блестяще согласуется с экспериментальными данными по распределению энергии в спектрах излучения черного тела во всем интервале частот и температур. Теоретический вывод этой формулы М. Планк изложил 14 декабря 1900 г. на заседании Немецкого физического общества. Этот день стал датой рождения квантовой физики.

В области малых частот, т. е. при h n << kT (энергия кванта очень мала по сравнению с энергией теплового движения kT), формула Планка (200.3) совпадает с формулой Рэлея — Джинса (200.1). Для доказательства этого разложим экспоненциальную функцию в ряд, ограничившись для рассматриваемого случая двумя первыми членами:

Подставляя последнее выражение в формулу Планка (200.3), найдем, что

т. е. получили формулу Рэлея — Джинса (200.1).

Из формулы Планка можно получить закон Стефана — Больцмана. Согласно (198.3) и (200.3),

Введем безразмерную переменную x = h n /( kt ); dx = h d n /( kT ); d n = kT dx / h . Формула для R_e преобразуется к виду

где так как Таким образом, действительно формула Планка позволяет получить закон Стефана — Больцмана (ср. формулы (199.1) и (200.4)). Кроме того, подстановка числовых значений k , с и h дает для постоянной Стефана — Больцмана значение, хорошо согласующееся с экспериментальными данными. Закон смещения Вина получим с помощью формул (197.1) и (200.3):

Значение l _max , при котором функция достигает максимума, найдем, приравняв нулю эту производную. Тогда, введя x=hc/ (kT l _max ), получим уравнение

Решение этого трансцендентного уравнения методом последовательных приближений дает x =4,965. Следовательно, hc/ (kT l _max )= 4,965, откуда

т. е. получили закон смещения Вина (см. (199.2)).

Из формулы Планка, зная универсальные постоянные h, k и с, можно вычислить постоянные Стефана — Больцмана s и Вина b . С другой стороны, зная экспериментальные значения s и b , можно вычислить значения h и k (именно так и было впервые найдено числовое значение постоянной Планка).

Таким образом, формула Планка не только хорошо согласуется с экспериментальными данными, но и содержит в себе частные законы теплового излучения, а также позволяет вычислить постоянные в законах теплового излучения. Следовательно, формула Планка является полным решением основной задачи теплового излучения, поставленной Кирхгофом. Ее решение стало возможным лишь благодаря революционной квантовой гипотезе Планка.

голоса

Рейтинг статьи